Правилото на дясната ръка е удобна конвенция в областта на векторната математика, която помага да се определи посоката на резултата от кръстосано (векторно) произведение на два вектора.

Основна идея: когато вземете кръстосано произведение a × b, резултатът е вектор, който е перпендикулярен както на a, така и на b, а посоката му се определя чрез правилото на дясната ръка.

  1. Поставете дланта на дясната си ръка така, че да можете да движите пръстите от първия вектор към втория.
  2. Протегнете показалеца си в посоката на първия вектор (a).
  3. Протегнете палеца си в посоката на втория вектор (b), като свиете ръката в китката така, че показалецът и палецът да са приблизително под прав ъгъл.
  4. Средният ви пръст (или указателен в някои варианти) ще сочи в посоката на кръстосаното произведение a × b.

По-просто казано: насочете палеца си в посоката на първия вектор и показалеца си в посоката на втория вектор; средният пръст ще показва посоката на кръстосаното произведение. Това е и удобен визуален начин за бърза проверка при задачи с три измерения.

Стъпка по стъпка (алтернативен, често показван начин):

  • Затворете дясната си ръка и изпънете показалеца;
  • Вдигнете палеца си нагоре (като правите „пистолет“);
  • Изпънете средния пръст така, че показалецът, палеца и средният пръст да са по три взаимно перпендикулярни оси.

Важно свойство: когато смените реда на векторите, посоката се обръща: a × b = −(b × a). Също така, ако двата вектора са паралелни или антипаралелни, кръстосаното произведение е нулев вектор.

Магнитуда на кръстосаното произведение: |a × b| = |a| |b| sin(θ), където θ е ъгълът между векторите a и b. Това означава, че модулът на резултата зависи от големината на векторите и от синуса на ъгъла между тях (максимален е при θ = 90°).

Свойства и приложения:

  • Резултатът е ортогонален (перпендикулярен) на двата множителя;
  • антикомутативност: a × b = −b × a;
  • разпределителност спрямо събиране: a × (b + c) = a × b + a × c;
  • широко приложение в физиката: магнитни сили, момент на сила (момент/торк), ъглов импулс и др.

Пример в картезиански координати: ако e_x, e_y и e_z са стандартните единични вектори, то e_x × e_y = e_z, e_y × e_z = e_x, и e_z × e_x = e_y. Това следва директно от правилото на дясната ръка и определя ориентацията на десния координатен базис.

Изчисляване по компоненти: за вектори a = (a_x, a_y, a_z) и b = (b_x, b_y, b_z) компонентите на a × b се намират чрез „детерминант“ на матрица или чрез формулите

  • (a × b)_x = a_y b_z − a_z b_y
  • (a × b)_y = a_z b_x − a_x b_z
  • (a × b)_z = a_x b_y − a_y b_x

Мнемоники: освен описания горе вариант, има и друг често използван начин — поставете дясната си ръка така, че показалецът да сочи в посоката на първия вектор, средният — в посоката на втория, а палеца автоматично ще посочи вектора на резултата (в зависимост от използваната постановка на пръстите).

Запомнете също, че когато промените реда на кръстосано умножение на векторите, резултатът ще бъде в обратна посока. Затова е важно да се уверите, че преминавате в реда t h u m b → × p o i n t e r → = m i d d l e → {\displaystyle {\vec {thumb}}\times {\vec {pointer}}={\vec {middle}} {\displaystyle {\vec {thumb}}\times {\vec {pointer}}={\vec {middle}}}.

Ако искате, мога да добавя кратки визуални примери или малка задача с решение, за да упражните правилото на дясната ръка.