Допускане на Поанкаре
Предположението на Поанкаре е въпрос за сферите в математиката. Наречена е на името на френския математик и физик Анри Поанкаре, който я формулира през 1904 г.
Сферата (наричана още 2-сфера, тъй като е двуизмерна повърхност, въпреки че обикновено се разглежда като вътрешност на триизмерно пространство) има свойството, че всяка примка върху нея може да се свие до точка (ако около сферата се увие гумен ластик, тя може да се плъзне надолу до точка). Математиците казват, че 2-сферата е просто свързана. Други пространства нямат това свойство, например поничката: гумена лента, която обикаля цялата поничка веднъж, не може да се плъзне надолу до точка, без да напусне повърхността.
Математиците са знаели, че това свойство е уникално за 2-сферата, в смисъл че всяко друго просто свързано пространство, което няма ръбове и е достатъчно малко (от гледна точка на математиците това е компактно), всъщност е 2-сфера. Това обаче вече не е вярно, ако премахнем идеята за маломерност, тъй като една безкрайно голяма равнина също е просто свързана. Също така един правилен диск (окръжност и нейната вътрешност) е просто свързан, но има ръб (ограничаващата окръжност).
В предположението се пита дали същото важи и за 3-сферата, която е обект, естествено живеещ в четири измерения. Този въпрос мотивира голяма част от съвременната математика, особено в областта на топологията. Въпросът е окончателно решен през 2002 г. от Григорий Перелман, руски математик, с методи от геометрията, показвайки, че той наистина е верен. За работата си той получава медал "Фийлдс" и наградата "Милениум" на стойност 1 млн. долара, като и двете награди той отказва.
Предположението на Поанкаре може да бъде разширено и към по-големи измерения: това е обобщеното предположение на Поанкаре. Изненадващо е, че е по-лесно да се докаже фактът за сфери с по-големи измерения: през 1960 г. Смале доказва, че той е верен за 5-, 6- и по-големи сфери. През 1982 г. Фридман доказва, че това е вярно и за 4-сферата, за което е награден с медал "Фийлдс".
Въпроси и отговори
Въпрос: Какво представлява хипотезата на Поанкаре?
О: Допускането на Поанкаре е въпрос за сферите в математиката, наречен на Анри Поанкаре, който пита дали някои свойства на 2-сферата са верни и за 3-сферата.
Въпрос: Какво свойство има 2-сферата?
О: 2-сферата има свойството, че всеки контур върху нея може да се свие до точка.
В: Това свойство уникално ли е за 2-сферата?
О: Това свойство е уникално за 2-сферата по отношение на малките пространства, които нямат ръбове. Безкрайно голяма равнина и правилен диск (окръжност и нейната вътрешност) обаче са просто свързани, но имат ръбове.
Въпрос: Кой доказа, че това е вярно за сфери с по-голяма размерност?
О: През 1960 г. Смейл доказва, че това е вярно за 5-, 6- и по-големи сфери, а през 1982 г. Фридман доказва, че това е вярно и за 4-мерни сфери.
Въпрос: Кой е разрешил предположението на Поанкаре?
О: Допускането на Поанкаре е решено от Григорий Перелман, руски математик, който използва методи от геометрията, за да покаже, че то наистина е вярно.
В: Какви награди е получил Перелман за работата си?
О: За работата си по решаването на предположението на Поанкаре Перелман получава медал "Фийлдс" и наградата на хилядолетието в размер на 1 милион долара; той обаче отказва и двете награди.
