Интервал в математиката — определение, видове, нотация и примери

Научете всичко за интервалите в математиката: определение, видове, нотация и ясни примери с обяснения и визуализации — практично и достъпно за ученици и студенти.

В математиката интервал е множества от реални числа, които съдържат всички числа между две крайни точки (ендпойнти). Ако началното число е a, а крайното b, то интервалът събира всички x с a ≤ x ≤ b (в зависимост от вида на интервала условието за краищата може да бъде стриктно или неточно). Числа по-големи от a и по-малки от b са вътре в интервала; числа по-малки от a или по-големи от b не принадлежат на този интервал. Началното и крайното число могат да бъдат включени или изключени в интервала — това се отбелязва със специална нотация. Пример: интервалът от 3,3 до 15 включва числа като 4, 8, 9,5, 14 и 14,999; не включва числа като −4, 2, 3,2, 20 или 15,000001.

Нотация и значение

• Квадратни скоби [ ] означават, че крайният елемент е включен (затворен интервал). Например [a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}.
• Обикновени скоби ( ) означават, че крайният елемент е изключен (отворен интервал). Например (a, b) = {x ∈ R | a < x < b}.
• Полуотворени интервали комбинират двата вида: [a, b) = {x | a ≤ x < b} и (a, b] = {x | a < x ≤ b}.
• Когато се използват десетични дроби с десетична запетая (например 9,6), за по-голяма яснота някои автори отделят крайните точки с точка и запетая: (4; 9,6). В математическата литература обаче често се използва запетая и между двете крайни точки: (4, 9,6). Важно е да се следва контекстът и договорената нотация.

Еквивалентни неравенства

• [a, b] е еквивалентно на a ≤ x ≤ b.
• (a, b) е еквивалентно на a < x < b.
• [a, b) е еквивалентно на a ≤ x < b, и т.н.

Особени случаи

• Ако a = b, то [a, a] представлява единично множество {a} (интервал със съвпадащи крайни точки). (a, a) е празното множество ∅.
• Ако a > b и не е уточнено друго, множеството между тях е празно.

Безкрайни интервали

Интервалите могат да бъдат и неограничени от едната или двете страни. Символът ∞ (безкрайност) се използва за означаване на неограниченост; той не е реално число, затова винаги се пише с кръгла скоба:

• (a, ∞) = {x | x > a}
• [a, ∞) = {x | x ≥ a}
• (−∞, b) = {x | x < b}
• (−∞, b] = {x | x ≤ b}

Дължина на интервала

За краен интервал [a, b] (или (a, b), [a, b), (a, b]) дължината (мярката) е b − a (не зависи от това дали краищата са включени). За безкрайни интервали дължината е безкрайна.

Графично изобразяване

На числова ос интервалите често се изобразяват с линия между две точки, като включените крайни точки се означават с пълни кръгчета (●), а изключените — с празни (○). Например:

[3, 15]: ●—————●

(3, 15): ○—————○

Примери

• (4, 9,6) — всички числа по-големи от 4 и по-малки от 9,6.
• [-100, 100] — всички числа между −100 и 100, включително и двата края.
• [-30, -4) — всички числа от −30 до −4, включително −30, но без −4.
• [3,3] = {3,3} (единичен елемент), а (3,3) = ∅ (празно множество).

Интервали при цели числа

Когато работим с цели числа, често говорим за диапазон от цели стойности (например всички цели числа от 1 до 5: {1,2,3,4,5}). Това се записва с множествена нотация или чрез условие 1 ≤ n ≤ 5. Някои програмни езици използват синтаксис като [1..5] за включващ диапазон или [1,5) за полуотворен (в зависимост от езика).

Операции с интервали

Интервалите могат да се събират (обединение), пресичат (интерсекция) и т.н. Например:

• [1, 4] ∪ [3, 6] = [1, 6]
• [1, 4] ∩ [3, 6] = [3, 4]

Интервалите са фундаментална концепция в анализа, теорията на множествата и приложната математика — използват се при описване на домейни на функции, решения на неравенства, интеграли и др.

Въпроси и отговори

Въпрос: Какво е интервал в математиката?

В: Как се определя кои числа са вътре в интервала?

Въпрос: Трябва ли и началното, и крайното число да са включени в интервала?

В: Как се записва интервал?

В: Можете ли да дадете примери за интервали?

В: Позволени ли са отрицателни числа в рамките на интервал?

Търсене по буква