AlegsaOnline.com

Гаусова елиминация: метод за решаване на линейни системи

Гаусова елиминация — стъпка по стъпка метод за решаване на линейни системи чрез матрици, ред-ешелон и Гаус-Жордан; ясно обяснение и примери за практическо решение.

Автор: Leandro Alegsa Дата на създаване: 7 декември 2021 г. Последна актуализация: 7 декември 2025 г.

en.wikipedia.org · CC BY-SA 4.0

В математиката Гаусовата елиминация (наричана още редукция на редове) е метод, използван за решаване на системи линейни уравнения. Наречен е на името на Карл Фридрих Гаус, известен немски математик, който пише за този метод, но не го изобретява.

За да се извърши елиминиране на Гаус, коефициентите на членовете в системата линейни уравнения се използват за създаване на вид матрица, наречена разширена матрица. След това се използват елементарни операции с редове, за да се опрости матрицата. Използват се следните три вида редови операции:

Тип 1: Смяна на един ред с друг ред.

Тип 2: Умножаване на ред по число, което не е нула.

Тип 3: Добавяне или изваждане на ред от друг ред.

Целта на елиминирането по Гаус е да се получи матрицата във вид на ред-ешелон. Ако една матрица е във вид ред-ехелон, това означава, че при четене от ляво надясно всеки ред започва с поне един нулев член повече от реда над него. В някои дефиниции на Гаусовото елиминиране се казва, че резултатът от матрицата трябва да бъде в редуциран ред-ешелон. Това означава, че матрицата е във вид на ред-ешелон и единственият ненулев член във всеки ред е 1. Елиминирането на Гаус, което създава резултат от редуцирана ред-ешелон матрица, понякога се нарича елиминиране на Гаус-Жордан.

Стъпки на метода

Типичният алгоритъм включва две основни фази:

Напредна елиминация (forward elimination): използват се елементарните редови операции, за да се получи матрица в ред-ешелон вид. Това означава да се "изчистят" елементите под водещите елементи (пивоти) чрез последователно нулиране на колони под диагонала.
Обратно заместване (back substitution): след като матрицата е в ред-ешелон вид, решаваме неизвестните, като започнем от последното уравнение и се придвижваме нагоре. При използване на Гаус-Жордан елиминация няма нужда от отделно обратно заместване, тъй като матрицата вече е приведена до редуциран ред-ешелон вид.

Пивоти и избор на ред

Всяка стъпка изисква избор на пивот (водещ елемент) в дадена колона. Ако пивотът е нула, трябва да се смени ред (тип 1 операция) с по-добър кандидат. В практическите числени изчисления често се използва частично завъртане (partial pivoting) — търси се ред с най-голям по абсолютна стойност елемент в дадената колона и той се премества на върха на текущата подматрица. Това намалява числовите грешки и увеличава стабилността на метода.

Възможни изходи от метода

Единствено решение: ако пивотите покриват всички неизвестни и няма противоречиви редове, системата има уникално решение.
Безкрайно много решения: ако има по-малко независими уравнения от неизвестните (трябва да има свободни променливи), резултатът ще съдържа параметри и системата има безкрайно много решения.
Няма решение (несъвместима): ако по време на елиминацията се получи ред вида [0 0 ... 0 | b] с b ≠ 0, това означава противоречие и системата няма решение.

Приложения и допълнения

Гаусовата елиминация е основен инструмент в линейната алгебра и се използва за:

решаване на системи линейни уравнения;
изчисляване на обратна матрица: като се приложи елиминацията върху разширената матрица [A | I], след редукция за A се получава [I | A^{-1}] (ако A е обратима);
определяне на ранг на матрица и намиране на базиси за ядро и образ;
части от по-сложни алгоритми в числено моделиране и статистика.

Сложност и числена стабилност

За система с n неизвестни времевата сложност на класическия алгоритъм за Гаусова елиминация е от порядъка O(n^3) аритметични операции. В реални числени изчисления е важно да се прилагат техники като частично или пълно завъртане (partial или complete pivoting) и да се работи с подходяща плаваща точка, за да се намалят грешките от закръгляване.

Кратък пример (идеен опис)

За система с две уравнения и две неизвестни матрицата на коефициентите и разширената матрица се преобразуват чрез редови операции до вид, позволяващ лесно обратно заместване. При по-големи системи процедурата е аналогична, само че се прилага последователно за всички колони отляво надясно.

Гаусовата елиминация е прост, универсален и практически приложим метод — основа за много по-напреднали алгоритми в математиката, физиката, инженерството и компютърните науки.

Пример

Да предположим, че целта е да се намерят отговорите на тази система линейни уравнения.

2 x + y - z = 8 ( R 1 ) - 3 x - y + 2 z = - 11 ( R 2 ) - 2 x + y + 2 z = - 3 ( R 3 ) {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\qquad (R_{1})\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\qquad (R_{2})\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\qquad (R_{3})\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\qquad (R_{1})\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\qquad (R_{2})\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\qquad (R_{3})\end{alignedat}}$

Първо, системата трябва да се превърне в разширена матрица. В разширената матрица всяко линейно уравнение се превръща в ред. От едната страна на разширената матрица коефициентите на всеки член в линейното уравнение стават числа в матрицата. От другата страна на разширената матрица са постоянните членове, на които е равно всяко линейно уравнение. За тази система разширената матрица е:

[ 2 1 - 1 8 - 3 - 1 2 - 11 - 2 1 2 - 3 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\-3&-1&2&-11\-2&1&2&-3\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]$

След това върху увеличената матрица могат да се извършат редови операции, за да се опрости. Таблицата по-долу показва процеса на редуциране на редовете на системата уравнения и на увеличената матрица.

Система от уравнения	Операции с редове	Увеличена матрица
2 x + y - z = 8 - 3 x - y + 2 z = - 11 - 2 x + y + 2 z = - 3 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&& \;=\;&&-11&\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\end{alignedat}}$		[ 2 1 - 1 8 - 3 - 1 2 - 11 - 2 1 2 - 3 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\-3&-1&2&-11\-2&1&2&-3\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]$
2 x + y - z = 8 1 2 y + 1 2 z = 1 2 y + z = 5 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y&&\;-&&\;z&&\;=\;&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y&&\;+&&\;{\frac {1}{2}}z&&\;=\;&&1&\\&&&&2y&&\;+&&\;z&&\;=\;&&5&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y&&\;-&&\;z&&\;=\;&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y&&\;+&&\;{\frac {1}{2}}z&&\;=\;&&1&\\&&&&2y&&\;+&&\;z&&\;=\;&&5&\end{alignedat}}$	R 2 + 3 2 R 1 → R 2 {\displaystyle R_{2}+{\frac {3}{2}}R_{1}\rightarrow R_{2}} $R_{2}+{\frac {3}{2}}R_{1}\rightarrow R_{2}$ R 3 + R 1 → R 3 {\displaystyle R_{3}+R_{1}\rightarrow R_{3}} $R_{3}+R_{1}\rightarrow R_{3}$	[ 2 1 - 1 8 0 1 / 2 1 / 2 1 0 2 1 5 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\0&1/2&1/2&1\0&2&1&5\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\0&1/2&1/2&1\\0&2&1&5\end{array}}\right]$
2 x + y - z = 8 1 2 y + 1 2 z = 1 - z = 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&-&&\;z\;&&=\;&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&+&&\;{\frac {1}{2}}z\;&&=\;&&1&\\&&&&&&&&\;-z\;& &\;=\;&&1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&-&&\;z\;&&=\;&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&+&&\;{\frac {1}{2}}z\;&&=\;&&1&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}$	R 3 + - 4 R 2 → R 3 {\displaystyle R_{3}+-4R_{2}\rightarrow R_{3}} $R_{3}+-4R_{2}\rightarrow R_{3}$	[ 2 1 - 1 8 0 1 / 2 1 / 2 1 0 0 - 1 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\0&1/2&1/2&1\0&0&-1&1\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\0&1/2&1/2&1\\0&0&-1&1\end{array}}\right]$

Сега матрицата е във вид на ред-ешелон. Това се нарича още триъгълна форма.

Система от уравнения	Операции с редове	Увеличена матрица
2 x + y = 7 1 2 y = 3 / 2 - z = 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\&&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&&&\;\;&&=\;&&3/2&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&&&\;\;&&=\;&&3/2&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}$	R 2 + 1 2 R 3 → R 2 {\displaystyle R_{2}+{\frac {1}{2}}R_{3}\rightarrow R_{2}} $R_{2}+{\frac {1}{2}}R_{3}\rightarrow R_{2}$ R 1 - R 3 → R 1 {\displaystyle R_{1}-R_{3}\rightarrow R_{1}} $R_{1}-R_{3}\rightarrow R_{1}$	[ 2 1 0 7 0 1 / 2 0 3 / 2 0 0 - 1 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\0&1/2&0&3/2\0&0&0&-1&1\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\\0&1/2&0&3/2\\0&0&-1&1\end{array}}\right]$
2 x + y = 7 y = 3 z = - 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}$	2 R 2 → R 2 {\displaystyle 2R_{2}\rightarrow R_{2}} $2R_{2}\rightarrow R_{2}$ R 3 → R 3 {\displaystyle -R_{3}\rightarrow R_{3}} $-R_{3}\rightarrow R_{3}$	[ 2 1 0 7 0 1 0 3 0 0 1 - 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\\0&1&0&3\0&0&1&-1\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]$
x = 2 y = 3 z = - 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}x&&\;&&\;&&&&\;\;&&=\;&&2&\\&&&& y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}x&&\;&&\;&&&&\;\;&&=\;&&2&\\&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}$	R 1 - R 2 → R 1 {\displaystyle R_{1}-R_{2}\rightarrow R_{1}} $R_{1}-R_{2}\rightarrow R_{1}$ 1 2 R 1 → R 1 {\displaystyle {\frac {1}{2}}R_{1}\rightarrow R_{1}} ${\frac {1}{2}}R_{1}\rightarrow R_{1}$	[ 1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 1 - 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}1&0&0&2\\0&1&0&3\0&0&1&-1\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}1&0&0&2\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]$

Сега матрицата е в редуциран ред-ешелон. Разчитането на тази матрица ни казва, че решенията на тази система уравнения се появяват, когато x = 2, y = 3 и z = -1.

Въпроси и отговори

В: Какво е Гаусова елиминация?

О: Гаусовата елиминация е метод, използван в математиката за решаване на системи линейни уравнения.

В: На кого е кръстен?

О: Наречен е на Карл Фридрих Гаус, известен немски математик, който пише за този метод, но не го е изобретил.

В: Как се извършва елиминирането на Гаус?

О: Елиминирането на Гаус се извършва, като се използват коефициентите на членовете в системата линейни уравнения, за да се създаде разширена матрица. След това се използват елементарни операции с редове, за да се опрости матрицата.

Въпрос: Кои са трите вида редови операции, използвани при елиминирането на Гаус?

О.: Трите вида операции с редове, използвани при елиминирането на Гаус, са: Размяна на един ред с друг ред, умножаване на ред с ненулево число и добавяне или изваждане на ред от друг ред.

В: Каква е целта на елиминирането по Гаус?

О: Целта на елиминирането на Гаус е да се получи матрицата във вид на ред-ешелон.

Въпрос: Какво е ред-ешелон форма?

О: Ако една матрица е във вид ред-ешелон, това означава, че при четене от ляво на дясно всеки ред започва с поне един нулев член повече от реда над него.

Въпрос: Какво е редуцирана форма на редове и ешелони?

О: Редуцирана редово-ехелонова форма означава, че матрицата е в редово-ехелонова форма и единственият ненулев член във всеки ред е 1. Елиминирането по Гаус, което създава резултат от редуцирана редово-ехелонова матрица, понякога се нарича елиминиране по Гаус-Джордан.

Автор

AlegsaOnline.com - Гаусовата елиминация - Leandro Alegsa

Дата на създаване: 7 декември 2021 г.
Последна актуализация: 7 декември 2025 г.

URL: https://bg.alegsaonline.com/art/37750