Електрически поток: определение, формула, единици и закон на Гаус

Представете си електрично поле E, преминаващо през повърхност. Помислете за безкрайно малка област (dA) върху тази повърхност, през която E може да се смята за постоянно. Нека ъгълът между вектора на полето E и векторната елементарна площ dA бъде i. Електрическият поток през тази малка област се дефинира като EdAcos(i). Понеже E и dA са вектори, потокът е точковото произведение на тях:

d Φ E = E ⋅ d A {\displaystyle d\Phi _{E}=\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} } $d\Phi _{E}=\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A}$

Интегрална дефиниция

Електрическият поток през обща (възможно извита) повърхност S се получава чрез интегриране на елементарните потоци:

Φ E = ∫ S E ⋅ d A {\displaystyle \Phi _{E}=\int _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} } $\Phi _{E}=\int _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A}$

Тук E е векторът на електричното поле, а dA е векторна площ с посока, зададена от нормалата към повърхността. За отворени повърхности нормалата се избира по конвенция (например „горна“ или „направена от ляво надясно“), а за затворени повърхности (Гаусови повърхности) се приема нормала да бъде насочена навън от обема.

Закон на Гаус

За затворена повърхност S потокът е свързан с общия електрически заряд, затворен в обема, чрез закона на Гаус:

Φ E = ∮ S E ⋅ d A = Q S ϵ 0 {\displaystyle \Phi _{E}=\oint _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} ={\frac {Q_{S}}{\epsilon _{0}}}} $\Phi _{E}=\oint _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} ={\frac {Q_{S}}{\epsilon _{0}}}$

Тук Q_S е нетният заряд (включително свободен и свързан) в обема, затворен от повърхността, а ε0 е електрическата константа (диелектрическата проницаемост на вакуума). Законът на Гаус е част от уравненията на Максуел и е валиден винаги — той не е приближение.

Интерпретация и важни бележки

Потокът зависи само от заряда, затворен вътре: Ако общият заряд вътре е нула, общият поток през всяка затворена повърхност е нула, независимо от разположението на външни заряди.
Електричното поле E може да бъде засегнато от външни заряди, но тези външни заряди не променят стойността на общия затворен поток — те могат да променят локалната конфигурация на полето, така че отделните участъци от потока да се различават, но сумарният поток зависи само от Q_S.
Конвенции за знак: поток е положителен, когато полето е насочено навън от затворения обем (насочваща нормала), и отрицателен, когато е насочено навътре.
Симетрия и приложимост: Законът на Гаус е винаги верен, но за практически изчисления на полето E се използва само когато има достатъчно висока симетрия (сферична, цилиндрична, плоска). В противен случай решението изисква числени методи или други техники (напр. компютър).

Примери

1) Точков заряд в центъра на сфера
За точков заряд Q, разположен в центъра на сферична повърхност с радиус r, полето е радиално и еднакво по големина върху сферата. Ъгълът между E и dA е 0, така че dΦ = E dA и общият поток е E·4πr2. Следователно от закона на Гаус:

E·4πr2 = Q/ε0 ⇒ E = Q/(4πε0 r2).

2) Безкрайно голяма равнинна плоча с еднородно поле
За равнинна повърхност с площ A, върху която полето е еднородно и образува ъгъл θ с нормалата, потокът е просто Φ = E A cosθ.

3) Безкрайна праволинейна плътност на заряд (цилиндрична симетрия)
За безкрайна равномерно заредена линия с плътност λ, вземайки цилиндрична Гаусова повърхност радиус r и дължина L, потокът през страничната повърхност е E·(2πrL), което от закона на Гаус дава:

E·2πrL = λL/ε0 ⇒ E = λ/(2πε0 r).

Отношение към дивергенцията и диференциалната форма

Чрез теоремата на дивергентността (Остроградски-Гаус) затвореният повърхностен интеграл може да се превърне във volume интеграл на дивергенцията:

∮_S E·dA = ∫_V (∇·E) dV = Q_enclosed/ε0.

Оттук следва диференциалната форма на закона на Гаус: ∇·E = ρ/ε0, където ρ е обемната плътност на заряда.

Материали и поляризация

В присъствието на диелектрик често е удобна полето на електричното изместване D, което взема предвид поляризационните заряди. В диелектрик законът на Гаус за D гласи:

∮_S D·dA = Q_free_enclosed,

където Q_free_enclosed е свободният (неприкрепен) заряд в обема. Свързаните заряди, породени от поляризацията, се третират отделно.

Единици

Електрическият поток се измерва в SI единици като волт-метър (V·m) или еквивалентно като нютон·метър на квадрат на кулон (N·m2·C^-1). Базовите SI единици за потока са:

kg·m3·s-3·A-1.

Практически бележки

Когато използвате закона на Гаус за изчисление на E, изберете Гаусова повърхност, която съвпада със симетрията на проблемa (сфера, цилиндър, плоскост).
Ако има смес от свободни и свързани заряди (напр. диелектрик), уточнете дали прилагате закона за E (включващ всички заряди) или за D (само свободни).
Законът е мощен инструмент за бързи изводи за сумарния поток и за даване на гранични условия при решаване на по-сложни полеви уравнения.

За допълнителна визуализация и примери може да се разгледат конкретни задачи със симетрии (сферична, цилиндрична, плоска) и да се провери съответствието с формулите, показани по-горе.

Свързани страници

Магнитен поток

Въпроси и отговори

В: Какво е електрически поток?

О: Електрическият поток е точковото произведение на електрическото поле, E, и диференциалната площ на повърхността, dA.

В: Как се изчислява електрическият поток?

О: Електрическият поток може да се изчисли с помощта на уравнението EdAcos(i), където E е електрическото поле, а dA е безкрайно малка площ на повърхността, по която E остава постоянно. Ъгълът между E и dA е i.

Въпрос: Какво гласи законът на Гаус за електрическите полета?

О: Законът на Гаус за електрическите полета гласи, че за затворена Гаусова повърхност електрическият поток през нея ще бъде равен на нетния заряд, затворен в нея, разделен на електрическата константа (ε0). Тази зависимост е вярна във всички ситуации, но може да се използва за изчисление само когато в електрическото поле съществуват високи степени на симетрия.

Въпрос: Кои са някои примери за симетрични ситуации, в които законът на Гаус може да се използва за изчисление?

О: Примерите включват сферична и цилиндрична симетрия.

В: Какви са единиците за електрически поток в SI?

О: Електрическият поток се измерва в SI единици като волт метър (V m) или нютон метър на квадрат за кулон (N m2 C-1). Базовите единици на SI за електрическия поток са kg-m3-s-3-A-1.

В: Зависи ли електрическият поток от зарядите извън затворена повърхност?

О: Не, електрическият поток не се влияе от заряди, които се намират извън затворената повърхност; те обаче могат да повлияят на нетното електрическо поле в нея.