Вихровост (вихрова сила) — определение и формули във динамиката на флуидите

Ясно обяснение на вихровост (вихрова сила) в динамиката на флуидите — дефиниция, векторни формули, практични примери и приложения с подробни изчисления и визуализации.

Вихровостта е математическо понятие, което се използва в динамиката на флуидите. Тя може да се свърже със степента на "циркулация" или "въртене" (или по-точно с локалната ъглова скорост на въртене) в даден флуид.

Средната вихрова сила в малка област на флуиден поток е равна на циркулацията Γ {\displaystyle \Gamma } около границата на малката област, разделена на площта А на малката област.

ω a v = Γ A {\displaystyle \omega _{av}={\frac {\Gamma }{A}}}

На теория вихровата сила в дадена точка на флуида е границата, която се получава, когато площта на малката област от флуида се приближава до нулата в точката:

ω = d Γ d A {\displaystyle \omega ={\frac {d\Gamma }{dA}}}

От математическа гледна точка вихровата сила в дадена точка е вектор и се определя като кривина на скоростта:

ω → = ∇ → × v → . {\displaystyle {\vec {\omega }}={\vec {\nabla }}\times {\vec {v}}. }

Едно от основните допускания на предположението за потенциален поток е, че вихровата сила ω {\displaystyle \omega } е нула почти навсякъде, освен в граничен слой или в повърхност на поток, непосредствено граничеща с граничен слой.

Тъй като вихърът е област с концентрирана вихрова сила, ненулевата вихрова сила в тези специфични области може да се моделира с вихри.

Физичен смисъл и интерпретация

Вихровостта измерва локалната тенденция на флуидните частици да въртят около своя център. За твърдо тяло, въртенето със ъглова скорост Ω дава вихровост ω = 2Ω — затова е полезно да се мисли за вихровостта като за два пъти локалната ъглова скорост на въртене в околността на точката. Единицата на вихровост е s⁻¹ (1/секунда).

Математични изрази и компоненти

В тримерно Декартово поле, ако скоростният вектор е v = (u, v, w), компонентите на вектора на вихровостта са:

• ω_x = ∂w/∂y − ∂v/∂z
• ω_y = ∂u/∂z − ∂w/∂x
• ω_z = ∂v/∂x − ∂u/∂y

За двумерен поток в равнината (x,y) оста на вихровостта е перпендикулярна на равнината и често описваме скаларната вихровост ω_z.

Основни свойства и динамика

• Транспорт и запазване: при идеален (нелепрещ) и баротропен поток вихровостта е „залепена“ за частиците и циркулацията се запазва по законите на Келвин — това означава, че вихърът се движи с потока.
• Разтягане на вихърни линии: при триизмерни потоци разтягането или сгъстяването на вихърните линии може да усилва или отслабва местната вихровост (вихровото усилване при разтягане).
• Дифузия при вискозност: в реални вискозни флуиди вихровостта се разпределя и дифундира чрез вискозни напрежения — гранични слоеве и смесване водят до промяна на vorticity.

Примери и приложения

• Вихровете зад крилото на самолет и в граничния слой — важни за аеродинамичните характеристики.
• Торнадо и водовъртежи — макроскопични примери, където вихровостта е силно концентрирана.
• Тurbулентност — vorticity е основна величина при описване на вихровата структура и преноса на енергия в турбулентни полета.
• Инженерни приложения: моделиране на вихрови завихряния, оптимизация на смесители, проектиране на пера за минимизиране на вихрови загуби.

Измерване и числено моделиране

Вихровостта се определя чрез пространствени производни на скоростта, така че експериментално може да се оцени чрез техники за измерване на векторното поле на скоростите (напр. PIV — Particle Image Velocimetry). В числените симулации (CFD) се извежда директно от числено дискретизираните скорости и е ключова величина при анализ на турбуленция и сходимост на решенията.

Бележка: при използване на модели за потенциален поток често се приема ω = 0 в обширни области на пространството — това улеснява анализа, но пренебрегва ефекти, произтичащи от вискозност, гранични слоеве и истински вихри, които трябва да се моделират отделно (напр. чрез вихрови листове или дискретни вихри).

Тази статия дава преглед на основните определения и значения на вихровостта във флуидната динамика, нейните математически формули и някои от основните физични последствия и приложения.

Въпроси и отговори

В: Какво е вихрушка?

В: Как се изчислява вихровият поток?

Въпрос: Има ли някакво базово предположение, свързано с вихровостта?

В: Какво се случва, когато има области с ненулева вихрова сила?

В: Какво представлява Γ?

В: Какво представлява ω?

Търсене по буква