Топологично пространство дефиниция отворени и затворени множества примери
Топологично пространство е основна структура в топологията — клон на математиката, който изучава свойствата на фигурите и пространствата, запазващи се при непрекъснати деформации. Интуитивно, топологичното пространство е набор от „точки“ заедно с правилен начин да се каже кои подмножества от този набор са „отворени“, тоест кои множества представляват околности или съседства на точки.
По-точно, ако X е множество, топология върху X е семейство T от подмножества на X (наричани отворени множества), което удовлетворява трите класически аксиоми:
- ∅ (празното множество) и X са елементи на T (т.е. са отворени);
- обединението на всякакъв (възможно безкраен) брой елементи на T е отново в T (т.е. произволното обединение на отворени множества е отворено);
- сечението (интерсекцията) на краен брой елементи на T е отново в T (т.е. крайното сечение на отворени множества е отворено).
Понятието за отворено множество позволява да се дефинира съседство или околност на точка: околност на точка е всяко отворено множество, което я съдържа. Има и понятия като интериор (най-голямото отворено множество, съдържащо дадено множество), затваряне (най-малкото затворено множество, съдържащо дадено множество) и граница (разликата между затварянето и интериора). Някои множества могат да са както отворени, така и затворени (клозово-отворени или clopen) — най-очевидните примери са X и ∅.
Примери на топологии
- Стандартна топология на R: за множеството от реални числа R отворните множества са обединения на открити интервали (a,b). Това произлиза от метричната структура на R.
- Топология, индуцирана от метрика: всяка метрика d дава топология, в която „отворени топки“ с радиус r около точка са базови отворени множества.
- Дискретна топология: всяко подмножество на X е отворено. Това е „максимално груба“ топология за която няма ограничения — всички множества са отворени.
- Тривиална (индицетска) топология: само ∅ и X са отворени. Това е „минималната“ топология.
- Ко-финитна (ко-крайна) топология: затворените множества са точно тези, които са крайни или равни на X; отворените множества са тези чиито допълнения са крайни. Това дава интересни примери за нетривиални, ненормални топологии.
- Подпространствена топология: ако Y ⊂ X и X има топология, то Y получава топология чрез пресичане на отворените множества на X с Y.
- Продуктова топология: върху декартово произведение на топологични пространства се дефинира естествена топология, чиито базови отворени множества са продуктите на отворени множества от факторите.
Бази и суббази
Често топологията се описва чрез база B: семейство от подмножества на X такова, че всяко отворено множество е обединение на елементи от B и за всяка точка x в пресечението на два елемента на B има трети елемент на B, съдържащ x и съдързан в това пресечение. Пример: отворените интервали образуват база за стандартната топология на R. Суббазата е още по-малък набор, чиито фини обединения дават база.
Операции и понятия
- Интериор на множество A: най-голямото отворено множество, съдържащо A.
- Затваряне на A: най-малкото затворено множество, съдържащо A (съдържа всички пределни точки на A).
- Граница на A: затварянето на A без интериора на A.
- Изолирана точка: точка, която формира едноточково отворено множество в A (в дискретни случаи).
Непрекъснатост и хомеоморфизми
Функция f: X → Y между топологични пространства е непрекъсната точно когато за всяко отворено множество V ⊂ Y обратният образ f^{-1}(V) е отворено в X. Две пространства са хомеоморфни ако съществува биективна непрекъсната функция с непрекъснат обратен образ — това формализира идеята за „същата топологична форма“.
Допълнителни свойства
Има редица важни условия (тахсаксиоми), които уточняват „колко добри“ са отделните топологии: например T0, T1 (в T1 едноточкови множества са затворени), T2 или Хаусдорфова (всяки две различни точки имат непересичащи се околности), нормални и регулярни пространства и др. Тези свойства влияят силно върху поведението на функции, разширения и други конструкти в топологията.
Топологията е много гъвкав инструмент: едно и също множество X може да бъде снабдено с различни топологии, което води до различни „топологични пространства“ с различни свойства — от почти „безструктурни“ (тривиална топология) до „прекалено подробни“ (дискретна топология). Това разнообразие прави топологията подходяща за формулиране и доказване на универсални понятия като непрекъснатост, свързаност, компактност и др., които се използват в много области на математиката и приложението ѝ.
Въпроси и отговори
В: Какво е топологично пространство?
О: Топологичното пространство е съвкупност от точки и начин да се разбере кои неща са близо едно до друго. То се изучава в математиката на структурата на формите.
В: Какво представляват отворените множества?
О: Отворените множества са важни, защото позволяват да се говори за точки, намиращи се близо до друга точка, наречени съседни на точката. Те се определят като определени видове множества, които могат да се използват за добро дефиниране на съседство.
В: Какво трябва да следват отворените множества?
О: Отворените множества трябва да следват определени правила, така че да съответстват на нашите представи за близост. Обединението на произволен брой отворени множества трябва да е отворено, а обединението на краен брой затворени множества трябва да е затворено.
В: Какъв е специалният случай за отворените и затворените множества?
О: Специалният случай за отворените и затворените множества е, че множеството, съдържащо всяка точка, е едновременно отворено и затворено, както и че множеството, което не съдържа точки, е едновременно отворено и затворено.
В: Как различните дефиниции влияят на топологичните пространства?
О: Различните дефиниции за това какво е отворено множество могат да повлияят на топологичните пространства, като разглеждат само определени множества като отворени или повече от обичайното, или дори разглеждат всяко множество като отворено.
В: Може ли безкраен брой затворени множества да образуват някакво множество?
О: Не, ако се допусне безкраен брой затворени множества, тогава всяко множество ще се счита за затворено, тъй като всяко множество се състои само от точки.
