Топологично пространство
Топологично пространство е пространство, изучавано в топологията - математиката на структурата на формите. Грубо казано, това е набор от неща (наречени точки), както и начин да се разбере кои неща са близо едно до друго.
По-точно, едно топологично пространство има определен вид множества, наречени отворени множества. Отворените множества са важни, защото позволяват да се говори за точки, намиращи се близо до друга точка, наречени съседство на точката. Съседство на точка е просто отворено множество, което съдържа тази точка. Ако не разполагаме с понятието за отворени множества, не бихме могли да дефинираме съседство по добър начин. Ако се опитаме да определим съседство на точка като всяко множество, съдържащо тази точка, то може да включва само тази точка и само тази точка, а не всички точки в близост до нея или далечни точки. Имаме също така понятие за затворени множества, които са допълнения на отворените множества. Това означава, че всички точки, които не принадлежат на определено отворено множество, образуват затворено множество.
Отворените множества трябва да следват определени правила, за да съответстват на нашите представи за близост. Обединението на произволен брой отворени множества трябва да е отворено, а обединението на краен брой затворени множества трябва да е затворено. (Второто правило важи само за краен брой затворени множества. Това е така, защото в много случаи множество, съдържащо една точка, е затворено. Всяко множество е съставено от точки. Ако второто правило важеше за безкраен брой затворени множества, тогава всяко множество щеше да е затворено.) В частен случай множеството, което съдържа всяка точка, е едновременно отворено и затворено. Множеството, което не съдържа точки, също е едновременно отворено и затворено.
Множеството от точки може да има много различни определения за това какво е отворено множество. Можем да мислим, че само някои множества са отворени, или че повече множества са отворени. Може дори да се смята, че всяко множество е отворено. Едно и също множество с различни определения за отворени множества образува различни топологични пространства.
Въпроси и отговори
В: Какво е топологично пространство?
О: Топологичното пространство е съвкупност от точки и начин да се разбере кои неща са близо едно до друго. То се изучава в математиката на структурата на формите.
В: Какво представляват отворените множества?
О: Отворените множества са важни, защото позволяват да се говори за точки, намиращи се близо до друга точка, наречени съседни на точката. Те се определят като определени видове множества, които могат да се използват за добро дефиниране на съседство.
В: Какво трябва да следват отворените множества?
О: Отворените множества трябва да следват определени правила, така че да съответстват на нашите представи за близост. Обединението на произволен брой отворени множества трябва да е отворено, а обединението на краен брой затворени множества трябва да е затворено.
В: Какъв е специалният случай за отворените и затворените множества?
О: Специалният случай за отворените и затворените множества е, че множеството, съдържащо всяка точка, е едновременно отворено и затворено, както и че множеството, което не съдържа точки, е едновременно отворено и затворено.
В: Как различните дефиниции влияят на топологичните пространства?
О: Различните дефиниции за това какво е отворено множество могат да повлияят на топологичните пространства, като разглеждат само определени множества като отворени или повече от обичайното, или дори разглеждат всяко множество като отворено.
В: Може ли безкраен брой затворени множества да образуват някакво множество?
О: Не, ако се допусне безкраен брой затворени множества, тогава всяко множество ще се счита за затворено, тъй като всяко множество се състои само от точки.
