Топологично пространство е основна структура в топологията — клон на математиката, който изучава свойствата на фигурите и пространствата, запазващи се при непрекъснати деформации. Интуитивно, топологичното пространство е набор от „точки“ заедно с правилен начин да се каже кои подмножества от този набор са „отворени“, тоест кои множества представляват околности или съседства на точки.

По-точно, ако X е множество, топология върху X е семейство T от подмножества на X (наричани отворени множества), което удовлетворява трите класически аксиоми:

  • ∅ (празното множество) и X са елементи на T (т.е. са отворени);
  • обединението на всякакъв (възможно безкраен) брой елементи на T е отново в T (т.е. произволното обединение на отворени множества е отворено);
  • сечението (интерсекцията) на краен брой елементи на T е отново в T (т.е. крайното сечение на отворени множества е отворено).
Оттук следва еквивалентното описание за затворените множества: множество е затворено, ако неговото допълнение в X е отворено. Затворените множества са затворени относно произволни (вкл. безкрайни) пресичания и относно крайни обединения.

Понятието за отворено множество позволява да се дефинира съседство или околност на точка: околност на точка е всяко отворено множество, което я съдържа. Има и понятия като интериор (най-голямото отворено множество, съдържащо дадено множество), затваряне (най-малкото затворено множество, съдържащо дадено множество) и граница (разликата между затварянето и интериора). Някои множества могат да са както отворени, така и затворени (клозово-отворени или clopen) — най-очевидните примери са X и ∅.

Примери на топологии

  • Стандартна топология на R: за множеството от реални числа R отворните множества са обединения на открити интервали (a,b). Това произлиза от метричната структура на R.
  • Топология, индуцирана от метрика: всяка метрика d дава топология, в която „отворени топки“ с радиус r около точка са базови отворени множества.
  • Дискретна топология: всяко подмножество на X е отворено. Това е „максимално груба“ топология за която няма ограничения — всички множества са отворени.
  • Тривиална (индицетска) топология: само ∅ и X са отворени. Това е „минималната“ топология.
  • Ко-финитна (ко-крайна) топология: затворените множества са точно тези, които са крайни или равни на X; отворените множества са тези чиито допълнения са крайни. Това дава интересни примери за нетривиални, ненормални топологии.
  • Подпространствена топология: ако Y ⊂ X и X има топология, то Y получава топология чрез пресичане на отворените множества на X с Y.
  • Продуктова топология: върху декартово произведение на топологични пространства се дефинира естествена топология, чиито базови отворени множества са продуктите на отворени множества от факторите.

Бази и суббази

Често топологията се описва чрез база B: семейство от подмножества на X такова, че всяко отворено множество е обединение на елементи от B и за всяка точка x в пресечението на два елемента на B има трети елемент на B, съдържащ x и съдързан в това пресечение. Пример: отворените интервали образуват база за стандартната топология на R. Суббазата е още по-малък набор, чиито фини обединения дават база.

Операции и понятия

  • Интериор на множество A: най-голямото отворено множество, съдържащо A.
  • Затваряне на A: най-малкото затворено множество, съдържащо A (съдържа всички пределни точки на A).
  • Граница на A: затварянето на A без интериора на A.
  • Изолирана точка: точка, която формира едноточково отворено множество в A (в дискретни случаи).

Непрекъснатост и хомеоморфизми

Функция f: X → Y между топологични пространства е непрекъсната точно когато за всяко отворено множество V ⊂ Y обратният образ f^{-1}(V) е отворено в X. Две пространства са хомеоморфни ако съществува биективна непрекъсната функция с непрекъснат обратен образ — това формализира идеята за „същата топологична форма“.

Допълнителни свойства

Има редица важни условия (тахсаксиоми), които уточняват „колко добри“ са отделните топологии: например T0, T1 (в T1 едноточкови множества са затворени), T2 или Хаусдорфова (всяки две различни точки имат непересичащи се околности), нормални и регулярни пространства и др. Тези свойства влияят силно върху поведението на функции, разширения и други конструкти в топологията.

Топологията е много гъвкав инструмент: едно и също множество X може да бъде снабдено с различни топологии, което води до различни „топологични пространства“ с различни свойства — от почти „безструктурни“ (тривиална топология) до „прекалено подробни“ (дискретна топология). Това разнообразие прави топологията подходяща за формулиране и доказване на универсални понятия като непрекъснатост, свързаност, компактност и др., които се използват в много области на математиката и приложението ѝ.