Теорема на Бейс | показва връзката между условна вероятност и нейната обратна форма

Формула

Използваното уравнение е:

P ( A | B ) = P ( B | A ) P ( A ) P ( B ) . {\displaystyle P(A|B)={\frac {P(B|A)\,P(A)}{P(B)}}.}

Къде:

• P(A) е предварителната вероятност или пределната вероятност на A. Тя е "предварителна" в смисъл, че не взема предвид никаква информация за B.
• P(A|B) е условната вероятност за A при зададена B. Нарича се още апостериорна вероятност, тъй като се получава от (или зависи от) определената стойност на B.
• P(B|A) е условната вероятност за B при A. Нарича се още вероятност.
• P(B) е предварителната или пределна вероятност за B и действа като нормализираща константа.

В много случаи P(B) се изчислява косвено по формулата P ( B ) = P ( B | A ) P ( A ) + P ( B | A c ) P ( A c ) {\displaystyle P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|A^{c})P(A^{c})} , което просто гласи, че вероятността за В е сумата от условните вероятности, основани на това дали А е настъпил или не.

Пример

Един прост пример е следният: Има 40% вероятност да вали в неделя. Ако вали в неделя, има 10% вероятност да вали в понеделник. Ако не вали в неделя, има 80% вероятност да вали в понеделник.

"Дъжд в неделя" е събитие А, а "Дъжд в понеделник" е събитие Б.

• P( A ) = 0,40 = Вероятност за дъжд в неделя.
• P( A` ) = 0,60 = Вероятност да няма дъжд в неделя.
• P( B | A ) = 0.10 = Вероятност за дъжд в понеделник, ако в неделя е валяло.
• P( B` | A ) = 0,90 = Вероятност да няма дъжд в понеделник, ако е валяло в неделя.
• P( B | A` ) = 0.80 = Вероятност за дъжд в понеделник, ако в неделя не е валяло.
• P( B` |A` ) = 0,20 = Вероятност да не вали в понеделник, ако не е валяло в неделя.

Първото нещо, което обикновено изчисляваме, е вероятността да вали в понеделник: Това ще бъде сумата от вероятностите "Дъжд в неделя и дъжд в понеделник" и "Без дъжд в неделя и дъжд в понеделник":

0.40 × 0.10 + 0.60 × 0.80 = 0.52 = 52 % {\displaystyle 0.40\кратна 0.10+0.60\кратна 0.80=0.52=52\%} шанс

Ако обаче ни помолят да изчислим вероятността да е валяло в неделя, при положение че е валяло в понеделник, тогава се появява теоремата на Бейс. Тя ни позволява да изчислим вероятността за по-ранно събитие, като имаме предвид резултата от по-късен случай.

Използваното уравнение е:

P ( A | B ) = P ( B | A ) P ( A ) P ( B ) . {\displaystyle P(A|B)={\frac {P(B|A)\,P(A)}{P(B)}}.}

В нашия случай "Дъжд в неделя" е събитие А, а "Дъжд в понеделник" е събитие Б.

• P(B|A) = 0.10 = Вероятност за дъжд в понеделник, ако е валяло в неделя.
• P(A) = 0,40 = Вероятност за дъжд в неделя.
• P(B) = 0,52 = Вероятност за дъжд в понеделник.

Така че, за да изчислим вероятността да е валяло в неделя, при положение че е валяло в понеделник, използваме формулата:

P ( A | B ) = P ( B | A ) P ( A ) P ( B ) . {\displaystyle P(A|B)={\frac {P(B|A)\,P(A)}{P(B)}}.}

или:

P ( A | B ) = 0,10 ∗ 0,40 0,52 = .0769 {\displaystyle P(A|B)={\frac {0,10*0,40}{0,52}}=.0769}

С други думи, ако в понеделник е валяло, има 7,69% вероятност да е валяло и в неделя.

Интуитивно обяснение

За да изчислим вероятността да е валяло в неделя, при положение че е валяло в понеделник, можем да направим следните стъпки:

• Знаем, че в понеделник е валяло. Следователно общата вероятност е P(B).
• Вероятността в неделя да е валяло е P(A).
• Вероятността да е валяло в понеделник, при положение че е валяло в неделя, е P(B|A).
• Вероятността да вали в неделя и да вали в понеделник е P(A)*P(B|A).
• Следователно общата вероятност да е валяло в неделя, при положение че е валяло в понеделник, е равна на вероятността да е валяло в неделя и понеделник, разделена на общата вероятност да е валяло в понеделник.

Следователно,

P ( A | B ) = P ( B | A ) P ( A ) P ( B ) . {\displaystyle P(A|B)={\frac {P(B|A)\,P(A)}{P(B)}}.}

Друг начин за разглеждане на това, който показва откъде идва теоремата на Бейс, е да разгледаме вероятността P(AB) да вали в неделя и понеделник. Тя може да се изчисли по два различни начина, които дават един и същ отговор за P(AB):

P ( A ) P ( B | A ) = P ( B ) P ( A | B ) {\displaystyle P(A)\,P(B|A)=P(B)\,P(A|B)}

В това отношение теоремата на Бейс е просто друг начин за записване на това уравнение.

Свързани страници

• Байесова вероятност
• Бейсова мрежа