Еластичен сблъсък

Едноизмерен Нютонов

Разгледайте две частици, обозначени с индекси 1 и 2. Нека m₁ и m₂ са масите, u₁ и u₂ са скоростите преди сблъсъка, а v₁ и v₂ са скоростите след сблъсъка.

Използване на запазване на импулса за записване на една формула

Тъй като става въпрос за еластичен сблъсък, общият импулс преди сблъсъка е същият като общия импулс след сблъсъка. Като се има предвид, че импулсът (p) се изчислява по следния начин

p = m v {\displaystyle \,\!p=mv}

Можем да изчислим, че импулсът преди сблъсъка е:

m 1 u 1 + m 2 u 2 {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}

а импулсът след сблъсъка е:

m 1 v 1 + m 2 v 2 {\displaystyle \,\!m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}

Ако поставим двете числа равни, ще получим първото уравнение:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}

Използване на принципа за запазване на енергията за записване на втора формула

Второто правило, което използваме, е, че общата кинетична енергия остава същата, което означава, че началната кинетична енергия е равна на крайната кинетична енергия.

Формулата за кинетичната енергия е:

m v 2 2 {\displaystyle {\frac {mv^{2}}{2}}}

Използваме същите променливи като преди: Началната кинетична енергия е:

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}}}

Крайната кинетична енергия е:

m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 . {\displaystyle {\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}. }

Определяме двете стойности като равни (тъй като общата кинетична енергия остава същата):

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 = m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 . {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}={\frac {m_{1}v{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}. }

Събиране на тези две уравнения

Тези уравнения могат да се решат директно, за да се намери v_i , когато е известно u_i , или обратното. Ето една примерна задача, която може да се реши, като се използва или запазването на импулса, или запазването на енергията:

Например:

Топка 1: маса = 3 kg, v = 4 m/s

Топка 2: маса = 5 kg, v = -6 m/s

След сблъсъка:

Топка 1: v = -8,5 m/s

Топче 2: v = неизвестно ( Ще го представим с v )

Използване на запазване на импулса:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 . {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}. }

  3 ∗ 4 + 5 ∗ ( - 6 ) = 3 ∗ ( - 8,5 ) + 5 ∗ v {\displaystyle \ 3*4+5*(-6)=3*(-8,5)+5*v}

След като умножим и извадим 3 ∗ ( - 8,5 ) {\displaystyle 3*(-8,5)} от двете страни, получаваме:

  12 - 30 + 25,5 = 5 ∗ v {\displaystyle \ 12-30+25,5=5*v}

Като съберем лявата страна и след това разделим на 5 {\displaystyle 5} , получаваме:

7.5 5 = v {\displaystyle {\frac {7.5}{5}}=v} , а като направим последното деление, получаваме:   1,5 = v {\displaystyle \ 1,5=v}

Можехме да решим тази задача и с помощта на запазване на енергията:

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 = m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}}^{2}{2}}}}}

3 ∗ 4 2 2 + 5 ∗ ( - 6 ) 2 2 = 3 ( - 8,5 ) 2 2 + 5 v 2 2 {\displaystyle {\frac {3*4^{2}}{2}}+{\frac {5*(-6)^{2}}{2}}={\frac {3(-8,5)^{2}}{2}}+{\frac {5v^{2}}{2}}}

Като умножим двете страни по 2 {\displaystyle 2} , а след това направим всички необходими умножения, получаваме:

  48 + 180 = 216,75 + 5 v 2 {\displaystyle \ 48+180=216,75+5v^{2}}

Като съберем числата отляво, извадим 216,75 {\displaystyle 216,75} от двете страни и разделим на 5 {\displaystyle 5} , получаваме:

  2,25 = v 2 {\displaystyle \ 2,25=v^{2}}

Като вземем квадратен корен от двете страни, получаваме отговор v = ± 1,5 {\displaystyle v=\pm 1,5} .

За съжаление все още ще трябва да използваме запазването на импулса, за да разберем дали v {\displaystyle v} е положително или отрицателно.