Еластичен сблъсък — дефиниция, закони и примери

Еластичен сблъсък — дефиниция, закони и примери: запазване на импулс и кинетична енергия, формули, изчисления и илюстративни примери за съвършени и реални сблъсъци.

Автор: Leandro Alegsa

10-11-2025 14:48

Еластичен сблъсък е вид сблъсък, при който два обекта си взаимодействат и след контакт отскачат обратно с малка или никаква деформация и без нетна загуба на механична енергия. В реални условия повечето сблъсъци са частично еластични, но добри приближения за еластични са, например, удари между влакчета от билярдни топки или между атоми и молекули в идеален газ. Ако деформациите са пластични и част от кинетичната енергия се превръща в топлина, звук или вътрешна енергия, сблъсъкът е нееластичен — например сблъсък между автомобили, при който те се смачкват и не отскачат обратно.

Основни закони

Запазване на импулса: Векторната сума на импулсите преди и след сблъсъка е една и съща. Формално: m1·v1 + m2·v2 = m1·v1' + m2·v2', където m — маса, v — скорост.
Запазване на кинетичната енергия (за съвършено еластични сблъсъци): Общата кинетична енергия преди и след сблъсъка е равна. Това е специално условие, което заедно със закона за импулса определя крайни скорости при идеално еластични удари.

Един-измерни (праволинейни) сблъсъци — формули

За два тіла с маси m1 и m2 и начални скорости v1 и v2 (по една права линия) крайните скорости при съвършено еластичен сблъсък са:

v1' = [(m1 - m2)/(m1 + m2)]·v1 + [2·m2/(m1 + m2)]·v2

v2' = [2·m1/(m1 + m2)]·v1 + [(m2 - m1)/(m1 + m2)]·v2

От тези формули следва няколко полезни специални случая:

Ако m1 = m2, тогава двата обекта разменят скоростите си (v1' = v2, v2' = v1).
Ако m2 ≫ m1 (малък обект удря голям неподвижен), малкият обект се отскача с почти обратна по знак скорост.
Ако m1 ≫ m2, скоростта на по-тежкия обект почти не се променя, а по-лекият получава близка до двойна относителна скорост.

Коефициент на възстановяване

Коефициентът на възстановяване e (0 ≤ e ≤ 1) характеризира колко „еластичен“ е сблъсъкът. За праволинеен сблъсък е дефиниран като отношението на относителната скорост на отдалечаване към относителната скорост на приближаване:

e = (v2' - v1') / (v1 - v2).

За съвършено еластичен сблъсък e = 1; за напълно нееластичен (когато телата се слепят) e = 0.

Сблъсъци в две и повече измерения

При сблъсъци в пространство компонентата на скоростта по правата, свързваща центровете на двете тела в момента на удар (линия на действие), се променя според еластичните уравнения, а компонентата, перпендикулярна на тази линия, остава непроменена (при липса на въртящ момент и триене). Това позволява да се решават двумерни сблъсъци чрез разлагане на скоростите на компоненти.

Физични примери и приложения

Молекулни и атомни сблъсъци в кинетичната теория на газовете често се моделират като еластични (идеален газ).
Билярдни топки — приближение към еластични сблъсъци при малки загуби на енергия.
Материалознание и инженерство: различни материали имат различни степени на еластичност при удар; това влияе на поглъщането на енергия и безопасността при катастрофи.

Практически забележки

В реалния свят почти винаги има малки загуби (звук, топлина, вътрешни деформации), затова „съвършено еластични“ са идеализирани случаи.
Импулсът се запазва винаги в отсъствие на външни сили. Запазването на кинетичната енергия е допълнително условие, валидно само за еластични сблъсъци.
За задачи е удобно да се премине в център масова (CM) система — там при идеален еластичен удар скоростите на телата просто се обръщат (v → −v) спрямо CM.

Накратко: еластичен сблъсък означава запазване на импулса и на кинетичната енергия (за съвършено еластични случаи); в повечето практически ситуации има частична загуба на енергия и се използва коефициентът на възстановяване, за да се опише степента на еластичност.

Образец на еластичен сблъсък на неравномерни маси

Едноизмерен Нютонов

Разгледайте две частици, обозначени с индекси 1 и 2. Нека m₁ и m₂ са масите, u₁ и u₂ са скоростите преди сблъсъка, а v₁ и v₂ са скоростите след сблъсъка.

Използване на запазване на импулса за записване на една формула

Тъй като става въпрос за еластичен сблъсък, общият импулс преди сблъсъка е същият като общия импулс след сблъсъка. Като се има предвид, че импулсът (p) се изчислява по следния начин

p = m v {\displaystyle \,\!p=mv} $\,\!p=mv$

Можем да изчислим, че импулсът преди сблъсъка е:

m 1 u 1 + m 2 u 2 {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}} $\,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}$

а импулсът след сблъсъка е:

m 1 v 1 + m 2 v 2 {\displaystyle \,\!m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}} $\,\!m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}$

Ако поставим двете числа равни, ще получим първото уравнение:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}} $\,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}$

Използване на принципа за запазване на енергията за записване на втора формула

Второто правило, което използваме, е, че общата кинетична енергия остава същата, което означава, че началната кинетична енергия е равна на крайната кинетична енергия.

Формулата за кинетичната енергия е:

m v 2 2 {\displaystyle {\frac {mv^{2}}{2}}} ${\frac {mv^{2}}{2}}$

Използваме същите променливи като преди: Началната кинетична енергия е:

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}}} ${\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}$

Крайната кинетична енергия е:

m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 . {\displaystyle {\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}. } ${\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}.$

Определяме двете стойности като равни (тъй като общата кинетична енергия остава същата):

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 = m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 . {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}={\frac {m_{1}v{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}. } ${\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}.$

Събиране на тези две уравнения

Тези уравнения могат да се решат директно, за да се намери v_i , когато е известно u_i , или обратното. Ето една примерна задача, която може да се реши, като се използва или запазването на импулса, или запазването на енергията:

Например:

Топка 1: маса = 3 kg, v = 4 m/s

Топка 2: маса = 5 kg, v = -6 m/s

След сблъсъка:

Топка 1: v = -8,5 m/s

Топче 2: v = неизвестно ( Ще го представим с v )

Използване на запазване на импулса:

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v 1 + m 2 v 2 . {\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}. } $\,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}.$

3 ∗ 4 + 5 ∗ ( - 6 ) = 3 ∗ ( - 8,5 ) + 5 ∗ v {\displaystyle \ 3*4+5*(-6)=3*(-8,5)+5*v} $\ 3*4+5*(-6)=3*(-8.5)+5*v$

След като умножим и извадим 3 ∗ ( - 8,5 ) {\displaystyle 3*(-8,5)} $3*(-8.5)$ от двете страни, получаваме:

12 - 30 + 25,5 = 5 ∗ v {\displaystyle \ 12-30+25,5=5*v} $\ 12-30+25.5=5*v$

Като съберем лявата страна и след това разделим на 5 {\displaystyle 5} $5$ , получаваме:

7.5 5 = v {\displaystyle {\frac {7.5}{5}}=v} ${\frac {7.5}{5}}=v$ , а като направим последното деление, получаваме: 1,5 = v {\displaystyle \ 1,5=v} $\ 1.5=v$

Можехме да решим тази задача и с помощта на запазване на енергията:

m 1 u 1 2 2 + m 2 u 2 2 2 = m 1 v 1 2 2 + m 2 v 2 2 2 {\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}}^{2}{2}}}}} ${\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}$

3 ∗ 4 2 2 + 5 ∗ ( - 6 ) 2 2 = 3 ( - 8,5 ) 2 2 + 5 v 2 2 {\displaystyle {\frac {3*4^{2}}{2}}+{\frac {5*(-6)^{2}}{2}}={\frac {3(-8,5)^{2}}{2}}+{\frac {5v^{2}}{2}}} ${\frac {3*4^{2}}{2}}+{\frac {5*(-6)^{2}}{2}}={\frac {3(-8.5)^{2}}{2}}+{\frac {5v^{2}}{2}}$

Като умножим двете страни по 2 {\displaystyle 2} $2$ , а след това направим всички необходими умножения, получаваме:

48 + 180 = 216,75 + 5 v 2 {\displaystyle \ 48+180=216,75+5v^{2}} $\ 48+180=216.75+5v^{2}$

Като съберем числата отляво, извадим 216,75 {\displaystyle 216,75} $216.75$ от двете страни и разделим на 5 {\displaystyle 5} $5$ , получаваме:

2,25 = v 2 {\displaystyle \ 2,25=v^{2}} $\ 2.25=v^{2}$

Като вземем квадратен корен от двете страни, получаваме отговор v = ± 1,5 {\displaystyle v=\pm 1,5} $v=\pm 1.5$ .

За съжаление все още ще трябва да използваме запазването на импулса, за да разберем дали v {\displaystyle v} $v$ е положително или отрицателно.

Въпроси и отговори

В: Какво представлява еластичният сблъсък?

О: Еластичен сблъсък е, когато два обекта се сблъскат и отскочат обратно с малка или никаква деформация.

В: Какъв е примерът за еластичен сблъсък?

О: Две гумени топки, които отскачат заедно, са пример за еластичен сблъсък.

Въпрос: Какво е нееластичен сблъсък?

О: Нееластичен сблъсък е, когато два обекта се сблъскат, смачкат се и не отскачат обратно.

В: Какъв е примерът за нееластичен сблъсък?

О: Два автомобила, които се удрят един в друг, са пример за нееластичен сблъсък.

В: Какво се случва при напълно еластичен сблъсък?

О: При напълно еластичен сблъсък не се губи кинетична енергия и затова кинетичната енергия на двата обекта след сблъсъка е равна на общата им кинетична енергия преди сблъсъка.

В: Как се случват еластичните сблъсъци?

О: Еластични сблъсъци се случват само ако няма нетно преобразуване на кинетичната енергия в други форми като топлина или звук.

В: Какво се запазва при еластичен сблъсък?

О: При еластичен сблъсък се запазва импулсът.

обискирам