Нютонов бином: биномно разширение, формула и примери

Биномното разширение (Нютонов бином) дава обща формула за разгръщане на степенния многочлен, получен при повдигане на сума от две величини в степен. Използва се израз в скоби като ( x + y ) n {\displaystyle (x+y)^{n}} {\displaystyle (x+y)^{n}}. Можем да разграничим три основни случая на биномни разширения в зависимост от вида на експонентата n: за неотрицателно цяло число (краен бином), за отрицателни цели числа (безкраен степенен ред) и за произволни реални или комплексни степени (обобщен Нютонов бином).

Базова формула (n неотрицателно цяло число)

Ако n е неотрицателно цяло число, то разширението е крайно и се записва чрез биномни коефициенти:

(x + y)^n = Σ_{k=0}^n C(n,k) x^{n-k} y^k

където

C(n,k) = n! / (k! (n-k)!) — класическият биномен коефициент (комбинации).

Примери (крайни разширения)

  • (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2
  • (x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3
  • (x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4
  • За n = 5: (x + y)^5 = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5

Коефициентите в реда са редиците от Паскалова триъгълник: всяко число е сбор от двете числа над него.

Обобщен Нютонов бином (реални и комплексни степени)

За произволна реална или комплексна стойност α (експонентът не е непременно цяло число) има безкрайно степенно разлагане около 1:

(1 + x)^α = Σ_{k=0}^∞ C(α,k) x^k, където

C(α,k) = α(α-1)(α-2)…(α-k+1) / k! (за k ≥ 1 и C(α,0) = 1).

Този ред нараства/сходимост: за реални α редът съвпада и е абсолютно сходящ за |x| < 1. При някои стойности на α и при подходящи x разширението може да бъде валидно и в граници, включващи |x| = 1 (трябва да се провери условието на сходимост).

Примери на обобщения бином

  • За α = 1/2 (квадартен корен): (1 + x)^{1/2} = 1 + (1/2)x − (1/8)x^2 + (1/16)x^3 − … (за |x| < 1).
  • За α = −1: (1 + x)^{−1} = 1 − x + x^2 − x^3 + … = Σ_{k=0}^∞ (−1)^k x^k (геометричен ред, за |x| < 1).

Свойства на биномните коефициенти

  • Симетрия: C(n,k) = C(n,n−k).
  • Сума на коефициентите: Σ_{k=0}^n C(n,k) = 2^n (получи се, ако заместим x = y = 1).
  • Алтернативна сума: Σ_{k=0}^n (−1)^k C(n,k) = 0 (за n ≥ 1), т.е. (1 − 1)^n = 0.
  • Комбинаторна интерпретация: C(n,k) е броят на начините да се изберат k елемента от множество с n елемента.

Приложения

  • Аритметично разгръщане и опростяване на изрази.
  • Комбинаторика — броене на комбинации и вероятности.
  • Аналитични приложения — приближения чрез степенни редове, използване в развитие на функции (поредни приближения).
  • Физика, статистика и теория на вероятностите — формули за моменти, разпределения и др.

Кратко обобщение: За неотрицателни цели n биномното разширение е краен ред с коефициенти C(n,k). За произволни α има обобщено (Нютоново) безкрайно разлагане, което се използва за приближения и аналитични преобразувания, когато |x| < 1.

Формулите

Съществуват основно три формули за биномно разширение:

( a + b ) =2 a +2 a 2b + b {\displaystyle2 (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}} {\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}

  

1-ви (плюс)

( a - b ) =2 a 2-2 a b + b {\displaystyle2 (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}} {\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}}

2-ри (минус)

( a + b ) ⋅ ( a - b ) = a 2- b {\displaystyle2 (a+b)\cdot (a-b)=a^{2}-b^{2}} {\displaystyle (a+b)\cdot (a-b)=a^{2}-b^{2}}

3-то място (плюс-минус)

Можем да обясним защо има такива 3 формули с просто разширение на произведението:

( a + b ) = 2( a + b ) ⋅ ( a + b ) = a ⋅ a + a ⋅ b + b ⋅ a + b ⋅ b = a + 22⋅ a ⋅ b + b {\displaystyle2 (a+b)^{2}=(a+b)\cdot (a+b)=a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b=a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}} {\displaystyle (a+b)^{2}=(a+b)\cdot (a+b)=a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b=a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}}

( a - b ) = 2( a - b ) ⋅ ( a - b ) = a ⋅ a - a ⋅ b - b ⋅ a + b ⋅ b = a - 22⋅ a ⋅ b + b {\displaystyle2 (a-b)^{2}=(a-b)\cdot (a-b)=a\cdot a-a\cdot b-b\cdot a+b\cdot b=a^{2}-2\cdot a\cdot b+b^{2}} {\displaystyle (a-b)^{2}=(a-b)\cdot (a-b)=a\cdot a-a\cdot b-b\cdot a+b\cdot b=a^{2}-2\cdot a\cdot b+b^{2}}

( a + b ) ⋅ ( a - b ) = a ⋅ a - a ⋅ b + b ⋅ a - b ⋅ b = a 2- b {\displaystyle2 (a+b)\cdot (a-b)=a\cdot a-a\cdot b+b\cdot a-b\cdot b=a^{2}-b^{2}} {\displaystyle (a+b)\cdot (a-b)=a\cdot a-a\cdot b+b\cdot a-b\cdot b=a^{2}-b^{2}}

Използване на триъгълника на Паскал

Ако n {\displaystyle n}n е цяло число ( n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } {\displaystyle n\in \mathbb {Z} }), използваме триъгълника на Паскал.


За да разширите ( x + y ) {\displaystyle2 (x+y)^{2}}{\displaystyle (x+y)^{2}} :

  • Намерете ред 2 от триъгълника на Паскал (1, 2, 1)
  • разширете x {\displaystyle x}x и y {\displaystyle y}, така yче мощността на x {\displaystyle x}x да намалява с 1 всеки път от n {\displaystyle n}n до 0, а мощността на y {\displaystyle y}y да се увеличава с 1 всеки път от 0 до n {\displaystyle n} n
  • умножете числата от триъгълника на Паскал с правилните членове.


Така че ( x + y ) =2 x 1y2 +0 x 2y 1+1 x 1y 0{\displaystyle2 (x+y)^{2}=1x^{2}y^{0}+2x^{1}y^{1}+1x^{0}y^{2}} {\displaystyle (x+y)^{2}=1x^{2}y^{0}+2x^{1}y^{1}+1x^{0}y^{2}}


Например:

( + 3x2 ) = ⋅2132 ⋅ ( x2 ) + ⋅ 0231⋅ ( x2 ) + ⋅ 1130⋅ ( x2 ) =2 + 9x 12+ x 4{\displaystyle (3+2x)^{2}=1\cdot 3^{2}\cdot (2x)^{0}+2\cdot 3^{1}\cdot (2x)^{1}+1\cdot2 3^{0}\cdot (2x)^{2}=9+12x+4x^{2}} {\displaystyle (3+2x)^{2}=1\cdot 3^{2}\cdot (2x)^{0}+2\cdot 3^{1}\cdot (2x)^{1}+1\cdot 3^{0}\cdot (2x)^{2}=9+12x+4x^{2}}


Така че като правило:

( x + y ) n = a x 0n y +0 a x1 n -1 y + 1a x2 n - 2y + 2⋯ + a n -1 x y1 n - 1+ a n x y0 n {\displaystyle (x+y)^{n}=a_{0}x^{n}y^{0}+a_{1}x^{n-1}y^{1}+a_{2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +a_{n-1}x^{1}y^{n-1}+a_{n}x^{0}y^{n}} {\displaystyle (x+y)^{n}=a_{0}x^{n}y^{0}+a_{1}x^{n-1}y^{1}+a_{2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +a_{n-1}x^{1}y^{n-1}+a_{n}x^{0}y^{n}}

където a i {\displaystyle a_{i}}{\displaystyle a_{i}} е числото на ред n {\displaystyle n}n и позиция i {\displaystyle i}{\displaystyle i} в триъгълника на Паскал.

Примери

( + 5x3 ) = ⋅3153 ⋅ ( x3 ) + ⋅ 0352⋅ ( x3 ) + ⋅ 1351⋅ ( x3 ) + ⋅ 2150⋅ ( x3 ) {\displaystyle (5+3x)^{3}=1\cdot 5^{3}\cdot (3x)^{0}+3\cdot 5^{2}\cdot (3x)^{1}+3\cdot 5^{1}\cdot (3x)^{2}+1\cdot 5^{0}\cdot (3x)^{3}}3 {\displaystyle (5+3x)^{3}=1\cdot 5^{3}\cdot (3x)^{0}+3\cdot 5^{2}\cdot (3x)^{1}+3\cdot 5^{1}\cdot (3x)^{2}+1\cdot 5^{0}\cdot (3x)^{3}}

= + 12575⋅ 3x + 15⋅9 x + 21⋅27 x =3 + 125x225 + x 135+2 x 27{\displaystyle =125+75\cdot 3x+15\cdot 9x^{2}+1\cdot 27x^{3}=125+225x+135x^{2}+27x^{3}}3 {\displaystyle =125+75\cdot 3x+15\cdot 9x^{2}+1\cdot 27x^{3}=125+225x+135x^{2}+27x^{3}}

 

(5 - 3x ) = ⋅3153 ⋅ ( - 3x ) + ⋅ 0352⋅ ( - 3x ) + ⋅ 1351⋅ ( - 3x ) + ⋅ 2150⋅ ( - 3x ) {\displaystyle (5-3x)^{3}=1\cdot 5^{3}\cdot (-3x)^{0}+3\cdot 5^{2}\cdot (-3x)^{1}+3\cdot 5^{1}\cdot (-3x)^{2}+1\cdot 5^{0}\cdot (-3x)^{3}}3 {\displaystyle (5-3x)^{3}=1\cdot 5^{3}\cdot (-3x)^{0}+3\cdot 5^{2}\cdot (-3x)^{1}+3\cdot 5^{1}\cdot (-3x)^{2}+1\cdot 5^{0}\cdot (-3x)^{3}}

= + 12575⋅ ( - 3x ) + 15⋅ 9x + 21⋅ ( - 27x ) 3=125 -223 x + x 1352-27 x {\displaystyle3 =125+75\cdot (-3x)+15\cdot 9x^{2}+1\cdot (-27x^{3})=125-223x+135x^{2}-27x^{3}} {\displaystyle =125+75\cdot (-3x)+15\cdot 9x^{2}+1\cdot (-27x^{3})=125-223x+135x^{2}-27x^{3}}

 

( + 7x4 ) 2= ⋅5175 ⋅ ( x4 ) 2+ ⋅ 0574⋅ ( x4 )2 + ⋅ 11073⋅ ( x4 )2 + ⋅ 21072⋅ ( x4 )2 + ⋅ 3571⋅ ( x ) + ⋅ ⋅ ( x ) +42 ⋅ 4170⋅ ( x4 ) 2{\displaystyle (7+4x^{2})^{5}=1\cdot5 7^{5}\cdot (4x^{2})^{0}+5\cdot 7^{4}\cdot (4x^{2})^{1}+10\cdot 7^{3}\cdot (4x^{2})^{2}+10\cdot 7^{2}\cdot (4x^{2})^{3}+5\cdot 7^{1}\cdot (4x^{2})^{4}+1\cdot 7^{0}\cdot (4x^{2})^{5}} {\displaystyle (7+4x^{2})^{5}=1\cdot 7^{5}\cdot (4x^{2})^{0}+5\cdot 7^{4}\cdot (4x^{2})^{1}+10\cdot 7^{3}\cdot (4x^{2})^{2}+10\cdot 7^{2}\cdot (4x^{2})^{3}+5\cdot 7^{1}\cdot (4x^{2})^{4}+1\cdot 7^{0}\cdot (4x^{2})^{5}}

= +1680712005 ⋅ 4x + 23430⋅16 x + 4490⋅64 x + 635⋅256 x + 81⋅1024 x {\displaystyle =16807+12005\cdot 4x^{2}+3430\cdot 16x^{4}+490\cdot 64x^{6}+35\cdot 256x^{8}+1\cdot 1024x^{10}}10 {\displaystyle =16807+12005\cdot 4x^{2}+3430\cdot 16x^{4}+490\cdot 64x^{6}+35\cdot 256x^{8}+1\cdot 1024x^{10}}

= +16807 x48020 +2 x54880 +4 x31360 +6 x 8960+ 8x 1024{\displaystyle10 \,=16807+48020x^{2}+54880x^{4}+31360x^{6}+8960x^{8}+1024x^{10}} {\displaystyle \,=16807+48020x^{2}+54880x^{4}+31360x^{6}+8960x^{8}+1024x^{10}}

Въпроси и отговори

В: Какво представлява биномното разширение?



О: Биномното разширение е математически метод, при който се използва израз за създаване на поредица с помощта на скобичния израз (x+y)^n.

В: Каква е основната концепция зад биномното разширение?



О: Основната концепция зад биномното разширение е да се разшири силата на биномния израз в редица.

В: Какво представлява биномният израз?



О: Биномният израз е алгебричен израз, който съдържа два члена, свързани със знак плюс или минус.

В: Каква е формулата за биномно разширение?



О: Формулата за биномно разширение е (x+y)^n, където n е експонентата.

В: Колко вида биномни разширения има?



О: Съществуват три вида биномни разширения.

В: Кои са трите вида биномни разширения?



О: Трите вида биномни разширения са - първо биномно разширение, второ биномно разширение и трето биномно разширение.

В: С какво биномното разширение е полезно в математическите изчисления?



О: Биномното разширение е полезно в математическите изчисления, тъй като помага да се опростят сложни изрази и да се решат сложни задачи.

AlegsaOnline.com - 2020 / 2025 - License CC3