Биномното разширение (Нютонов бином) дава обща формула за разгръщане на степенния многочлен, получен при повдигане на сума от две величини в степен. Използва се израз в скоби като ( x + y ) n {\displaystyle (x+y)^{n}} {\displaystyle (x+y)^{n}}. Можем да разграничим три основни случая на биномни разширения в зависимост от вида на експонентата n: за неотрицателно цяло число (краен бином), за отрицателни цели числа (безкраен степенен ред) и за произволни реални или комплексни степени (обобщен Нютонов бином).

Базова формула (n неотрицателно цяло число)

Ако n е неотрицателно цяло число, то разширението е крайно и се записва чрез биномни коефициенти:

(x + y)^n = Σ_{k=0}^n C(n,k) x^{n-k} y^k

където

C(n,k) = n! / (k! (n-k)!) — класическият биномен коефициент (комбинации).

Примери (крайни разширения)

  • (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2
  • (x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3
  • (x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4
  • За n = 5: (x + y)^5 = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5

Коефициентите в реда са редиците от Паскалова триъгълник: всяко число е сбор от двете числа над него.

Обобщен Нютонов бином (реални и комплексни степени)

За произволна реална или комплексна стойност α (експонентът не е непременно цяло число) има безкрайно степенно разлагане около 1:

(1 + x)^α = Σ_{k=0}^∞ C(α,k) x^k, където

C(α,k) = α(α-1)(α-2)…(α-k+1) / k! (за k ≥ 1 и C(α,0) = 1).

Този ред нараства/сходимост: за реални α редът съвпада и е абсолютно сходящ за |x| < 1. При някои стойности на α и при подходящи x разширението може да бъде валидно и в граници, включващи |x| = 1 (трябва да се провери условието на сходимост).

Примери на обобщения бином

  • За α = 1/2 (квадартен корен): (1 + x)^{1/2} = 1 + (1/2)x − (1/8)x^2 + (1/16)x^3 − … (за |x| < 1).
  • За α = −1: (1 + x)^{−1} = 1 − x + x^2 − x^3 + … = Σ_{k=0}^∞ (−1)^k x^k (геометричен ред, за |x| < 1).

Свойства на биномните коефициенти

  • Симетрия: C(n,k) = C(n,n−k).
  • Сума на коефициентите: Σ_{k=0}^n C(n,k) = 2^n (получи се, ако заместим x = y = 1).
  • Алтернативна сума: Σ_{k=0}^n (−1)^k C(n,k) = 0 (за n ≥ 1), т.е. (1 − 1)^n = 0.
  • Комбинаторна интерпретация: C(n,k) е броят на начините да се изберат k елемента от множество с n елемента.

Приложения

  • Аритметично разгръщане и опростяване на изрази.
  • Комбинаторика — броене на комбинации и вероятности.
  • Аналитични приложения — приближения чрез степенни редове, използване в развитие на функции (поредни приближения).
  • Физика, статистика и теория на вероятностите — формули за моменти, разпределения и др.

Кратко обобщение: За неотрицателни цели n биномното разширение е краен ред с коефициенти C(n,k). За произволни α има обобщено (Нютоново) безкрайно разлагане, което се използва за приближения и аналитични преобразувания, когато |x| < 1.