Унитарно — значение и видове (държава, матрица, оператор, група)

Унитарно — значение и видове: ясно обяснение за унитарни държави, матрици, оператори и групи. Примери, свойства и приложения за студенти и специалисти.

Унитарно може да бъде:

• унитарна държава (политически строй)
• унитарна матрица (в линейната алгебра)
• унитарен оператор (в теорията на операторите/хилбертови пространства)
• унитарна група (математическа структура, свързана с унитарните матрици)

Унитарна държава

Унитарна държава е форма на държавно устройство, при която властта е централизирана и основните решения се взимат от централните държавни органи. В такава система административните единици (области, региони, общини) изпълняват правомощия, делегирани им от централното правителство и нямат собствен суверенитет, както е при федерациите.

Характерни черти:

• единна конституция и единен законодателен режим;
• централно определяне на политиката по ключови въпроси (отбрана, външна политика, фискална политика);
• административната децентрализация е възможна, но обратима — централната власт може да променя правомощията на местните органи.

Примери: Франция, Япония, България, Нова Зеландия (в различни варианти и степени на децентрализация).

Унитарна матрица

Унитарна матрица е квадратна матрица U с комплексни елементи, която удовлетворява условието U* U = I, където U* е ермитовото спрямо (конюгирано-транспонирано) на U, а I е единичната матрица. Това означава, че U^{-1} = U*.

Основни свойства:

• запазва скаларното произведение: за всеки вектор x,y имаме <Ux,Uy> = <x,y>;
• е изометрия: поява на норма: ||Ux|| = ||x||;
• всички собствени стойности имат модул 1 (намират се по единичната окръжност в комплексната равнина);
• детерминантата има модул 1: |det U| = 1;
• реалният случай дава ортогонална матрица (O(n)) — ортогоналните матрици са унитарни с реални елементи.

Примери: ротационните матрици в R^2 (приблизително унитарни и ортогонални при реални координати), матрицата на дискретното Фурие-преобразуване (DFT) е унитарна след подходяща нормировка.

Унитарен оператор

Унитарен оператор е линейен оператор U върху комплексно Хилбертово пространство (напр. C^n или пространство на квадрато-интегруеми функции), който запазва вътрешното (скаларното) произведение: <Ux,Uy> = <x,y> за всички вектори x и y. В крайноизмерим случай това съответства на унитарна матрица.

Характеристики и последствия:

• U е обратим и U^{-1} = U* (където U* е аджойнтът на U);
• запазва нормите и ъглите — следователно е изометрия на пространството;
• спектърът (множество от спектрални стойности) лежи върху единичната окръжност;
• в квантовата механика еволюцията на затворена система е зададена от унитарни оператори — те запазват сумата от квадратите на модула на амплитудите (вероятности).

Пример: операторът на Фурие върху L^2 пространството е унитарен; в квантовата теория времевият еволюционен оператор е унитарен при хермициев хамилтониан.

Унитарна група

Унитарната група U(n) е групата от всички n×n унитарни матрици с операция умножение. Тази група е компактна и има структура на многообразие — това я прави компактна Ли група.

Пояснения и свойства:

• U(n) има реална размерност n^2;
• специалната унитарна група SU(n) е подгрупа, съставена от унитарни матрици с детерминанта равна на 1; dim SU(n) = n^2 − 1;
• центърът на U(n) са скаларните матрици e^{iθ} I;
• унитарните групи играят важна роля в теорията на представянията, квантовата механика, теорията на сигналите и др.

Примери: U(1) е групата на комплексните числа с модул 1 (изоморфна на единичната окръжност), SU(2) е свързана с въртенето на спиновите полета и е изоморфна като многообразие на сферата S^3.

Къде се използва терминът

• в политологията при описание на държавно устройство (унитарна срещу федерална държава);
• в математиката — линейна алгебра, теория на операторите, теория на групите и геометрия;
• в приложните науки — квантова механика, телекомуникации (Фурие-преобразувания), обработка на сигнали и др.

Бележка за езика: думата „унитарно/унитарен/унитарна“ произлиза от корена, свързан с единица, и в различните области съхранява идеята за „запазване на единство“ — в политическия смисъл единна държава; в математическия — оператори или матрици, които запазват вътрешната структура (норма, скаларно произведение).

Търсене по буква